木に関する数学の論文の紹介

この記事は木 Advent Calendar 2023 の20日目の記事です。

最近は研究ばかりしていて論文を読む時間がとれていません。そこで、手元にある論文の中から次に読みたい木に関する論文をまとめることにしました。

筆者の関心は組合せ論にあるので、分野が偏ります。ご了承ください。

Matoya, Kazuki; Oki, Taihei. Pfaffian pairs and parities: counting on linear matroid intersection and parity problems. SIAM J. Discrete Math. 36, No. 3, 2121-2158 (2022).

全域木の個数が行列木定理で与えられることは有名ですが、これをマトロイドに一般化していろいろやるようです。LGV 公式も出てくるようです。

Aval, Jean-Christophe; Boussicault, Adrien; Nadeau, Philippe. Tree-like tableaux. Electron. J. Comb. 20, No. 4, Research Paper P34, 24 p. (2013).

tree-like tableau は二分木と対応しており、alternative tableau, permutation tableau とも関係するようです。図が多くて楽しそう。

グラフと幾何学の話。最近幾何学的組合せ論に興味があるので気になりますね。ところで、この著者は arXiv にある多くのプレプリントが出版されていませんが、あえてそうしているのでしょうか。

タイトルが気になりました。graph burning という問題があるそうです。

S.Ole Warnaar, An A2 Bailey tree and A(1)2 Rogers-Ramanujan-type identities, arXiv:2303.09069.

ロジャーズ・ラマヌジャン型の等式に関しても木が現れるんですね。

Berestycki, Nathanaël; Laslier, Benoît; Ray, Gourab. Dimers and imaginary geometry. Ann. Probab. 48, No. 1, 1-52 (2020).

一様全域木のある性質が Gaussian free field と関係があるらしいです。確率論の論文ですが幾何学も現れます。すごそう。

Caprace, Pierre-Emmanuel; Rémy, Bertrand. Simplicity of twin tree lattices with non-trivial commutation relations. Davis, Michael W. (ed.) et al., Topology and geometric group theory, Ohio State University, Columbus, USA, 2010–2011. Cham: Springer. Springer Proc. Math. Stat. 184, 143-151 (2016).
Morita, Jun; Rémy, Bertrand. Simplicity of some twin tree automorphism groups with trivial commutation relations. Can. Math. Bull. 57, No. 2, 390-400 (2014).

これは読みたい論文ではなく読んだ論文ですが、もう忘れました。昔は単純群を勉強していて、その延長で読んだ論文です。

Moerman, Robert; Williams, Lauren K. Grass(mannian) trees and forests: variations of the exponential formula, with applications to the momentum amplituhedron. Comb. Theory 3, No. 1, Paper No. 10, 28 p. (2023).

数え上げに関連した論文のようで、母関数やラグランジュ反転が出てきます。

Yuzhenni Wang, Xingxing Yu, Xiao-Dong Zhang, A class of trees determined by their chromatic symmetric functions, arXiv:2308.03980.

グラフの彩色多項式に関連して、彩色対称関数というものがあります。木については彩色対称関数が等しいならば木が同型という予想があるようです。ぼくの専門は対称関数なので読みたいですね。

Aval, Jean-Christophe; Djenabou, Karimatou; McNamara, Peter R. W. Quasisymmetric functions distinguishing trees. Algebr. Comb. 6, No. 3, 595-614 (2023).

上の予想を発展させ、chromatic quasisymmetric function が有向木を区別するという予想を打ち立てました。

Deb, Bishal. Bijection between increasing binary trees and rook placements on double staircases. Electron. J. Comb. 30, No. 1, Research Paper P1.10, 18 p. (2023).

全単射、楽しそう。

Maciej Kowalski, A combinatorial formula for LLT cumulants of melting lollipops in terms of spanning trees. arXiv:2301.08933.

LLT多項式もずっと気になっていますがなかなか手を出せてないですね。

特性多項式が回文になるような木について扱っています。競プロでたまに見かける回文木ではないです。

Blass, Andreas. Seven trees in one. J. Pure Appl. Algebra 103, No. 1, 1-21 (1995).

木の母関数が T=1+T² をみたすことから、T⁷=T をみたします。7本の木の組と1本の木の間に全単射が存在するそうです。

Cain, Alan J.; Malheiro, António. Crystals and trees: quasi-Kashiwara operators, monoids of binary trees, and Robinson-Schensted-type correspondences. J. Algebra 502, 347-381 (2018).

結晶っぽい構造が入るそうです。ぼくの好きそうなものが詰まってます。